Matematik, del 1

Matematik är kul.

Låt oss börja med ett av de enklaste beviset jag kan: att det finns oändligt många primtal. Beviset går ut på att man antar att det faktiskt finns ett ändligt antal primtal, och visar att så är det inte alls. Därför kan man dra slutsatsen att det måste finnas oändligt många primtal.

Sats: Det finns oändligt många primtal (tal med egenskapen att de inte kan skrivas som n=p*q, där n, p, och q är positiva heltal större än 1).

Bevis: Antag motsatsen. Då finns det ett största primtal n. Konstruera nu talet K=1 + 1*2*3*5*7*...*n. K kan inte divideras med något av primtalen, alltså måste K vara ett primtal. Detta är en motsägelse (vi antog att n var det största primtalet och K > n) och därmed har vi bevisat att det finns oändligt många primtal. [Vilket skulle bevisas]


Det finns andra intressanta satser kring primtal, till exempel kan man visa att det finns godtyckligt långa serier med tal som inte innehåller några siffror (godtyckliga innebär att de är ändligt långa, men det finns ingen gräns för hur långa de ska vara). Detta kan visas med hjälp av fakultet, n fakultet skrivs n! där n! = 1*2*3*4*...*n, det vill säga N! är produkten av alla positiva heltal upp till och med n. Av bekvämlighetsskäl (och för att man ska slippa stora mängder av specialfall) används notationen 0! = 1. Det bör även nämnas att fakultet växer väldigt snabbt, till exempel så är 10! = 3 628 800.

Sats: Det finns godtyckligt långa serier med tal som inte innehåller några primtal.

Bevis: n! + 2 till och med n! + n är en serie med n-1 tal. Eftersom n! + k = k * (n!/k +1) är ett sammansatt tal (består av produkten av två primtal) för alla k i mängden [2,n]. [Vilket skulle bevisas]


Sen finns det förstås beviset för att alla heltal är intressanta. Jag kommer inte gå igenom det ordentligt. Det bygger på samma princip som beviset för att det finns oändligt många primtal, vi börjar med att anta att det måste finnas en mängd tal som inte är intressanta. Då måste det finnas att minsta sådant tal, och eftersom det är det minsta av de ointressanta talen är det intressant. Nu finns det ett nytt minsta, ointressanta tal. På det här sättet fortsätter vi tills vi inte har några ointressanta tal kvar.